=================================== 复变函数与积分变换 =================================== 0. 要点汇总 ==================== 本篇文章的要点整理如下 - 复数：形如 :math:`z = x + iy` 的数，其中 :math:`x` 为实部，:math:`y` 为虚部，:math:`i^2 = -1` - 复平面：用二维平面表示复数，横轴为实轴，纵轴为虚轴 - 复数的模： :math:`|z| = \sqrt{x^2 + y^2}`，表示复数到原点的距离 - 辐角： :math:`\arg(z)` 表示复数与正实轴的夹角，主值范围为 :math:`(-\pi, \pi]` - 欧拉公式： :math:`e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta` - 共轭复数： :math:`\bar{z} = x - iy`，与原复数关于实轴对称 - 复变函数：自变量和因变量都是复数的函数 - 柯西-黎曼方程：复变函数可微的必要条件，:math:`\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}`，:math:`\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}` - 解析函数：在区域内处处可微的复变函数 - 柯西积分定理：解析函数沿闭曲线的积分为零 - 柯西积分公式： :math:`f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz` - 泰勒级数：解析函数可以展开为幂级数 - 洛朗级数：在环形区域内展开的级数，包含正幂和负幂项 - 奇点：函数不可导的点，包括可去奇点、极点、本性奇点 - 留数：洛朗级数中 :math:`(z - z_0)^{-1}` 项的系数 - 留数定理： :math:`\oint_C f(z)dz = 2\pi i \times \text{(所有奇点留数之和)}` - 傅里叶级数：将周期函数展开为正弦和余弦的级数 - 傅里叶变换：将时域函数转换到频域 - 拉普拉斯变换：一种广义的傅里叶变换，用于求解微分方程 - 卷积定理：两个函数卷积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积 - 采样定理：带限信号可以由采样值完全恢复 1. 复数与复平面 =================================== 1.1 复数的基本概念 --------------------- **复数的定义** 复数是实数的扩展，形式为 :math:`z = x + iy` ，其中 :math:`x` 称为实部（记作 :math:`\text{Re}(z)` ）， :math:`y` 称为虚部（记作 :math:`\text{Im}(z)` ）， :math:`i` 称为虚数单位，满足 :math:`i^2 = -1` 。 当y = 0时，复数退化为实数；当x = 0时，称为纯虚数。 **复数的四则运算** - **加法**：(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) - **减法**：(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d) - **乘法**：:math:`(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)` - **除法**：:math:`(a + ib)/(c + id) = \frac{(a + ib)(c - id)}{(c + id)(c - id)} = \frac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}` **共轭复数** 复数 :math:`z = x + iy` 的共轭复数记作 :math:`\bar{z} = x - iy` 。 重要性质： .. math:: - z + \bar{z} = 2x \\ - z - \bar{z} = 2iy \\ - z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2 \\ - \bar{\bar{z}} = z 1.2 复平面与极坐标表示 ------------------------ **复平面** 复数可以用二维平面上的点表示，横轴为实轴（Re轴），纵轴为虚轴（Im轴）。复数 :math:`z = x + iy` 对应点 :math:`(x, y)` 。 **复数的模** 复数z = x + iy的模定义为： .. math:: |z| = \sqrt{x^2 + y^2} 表示复数z到原点的距离。 **辐角** 复数 :math:`z = x + iy` 的辐角 :math:`\arg(z)` 表示复数与正实轴的夹角。 .. math:: \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) 辐角的多值性：如果 :math:`\theta` 是 :math:`z` 的辐角，则 :math:`\theta + 2k\pi` （ :math:`k` 为整数）都是 :math:`z` 的辐角。 **主辐角** 辐角的主值记作Arg(z)，范围限制在(-π, π]内。 **极坐标表示** 复数可以用极坐标表示： .. math:: z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} 其中 :math:`r = |z|` 是模，:math:`\theta = \arg(z)` 是辐角。 **欧拉公式** 欧拉公式是复变函数理论的基础： .. math:: e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 由此可得： .. math:: \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} .. math:: \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} **棣莫弗公式** 对于任意整数n： .. math:: (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) 或写成指数形式： :math:`(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}` 1.3 复数的幂与根 --------------------- **复数的幂** 使用指数形式计算复数的幂最为方便： .. math:: z^n = (re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta} = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] **复数的根** 复数 :math:`z = re^{i\theta}` 的n次根有n个不同的值： .. math:: \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 这n个根均匀分布在以原点为中心、半径为r^(1/n)的圆上。 .. container:: example-box **例题** 求1 + i的三次方根。 首先转换为极坐标形式： :math:`1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}` 三次方根为： :math:`z_k = (\sqrt{2})^{1/3} e^{i(\pi/4 + 2k\pi)/3} = 2^{1/6} e^{i(\pi/12 + 2k\pi/3)}, k = 0, 1, 2` 即： :math:`z_0 = 2^{1/6}e^{i\pi/12}` :math:`z_1 = 2^{1/6}e^{i3\pi/4}` :math:`z_2 = 2^{1/6}e^{i17\pi/12}` 2. 复变函数 =================================== 2.1 复变函数的基本概念 ------------------------ **复变函数的定义** 复变函数f(z)是将复数z映射到复数w的映射：w = f(z) 如果 :math:`z = x + iy` ， :math:`w = u + iv` ，则复变函数可以表示为： f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 其中u(x, y)称为实部函数，v(x, y)称为虚部函数。 **常见的复变函数** - **幂函数**： :math:`f(z) = z^n` （n为正整数） - **指数函数**： :math:`f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)` - **对数函数**： :math:`f(z) = \ln z = \ln|z| + i\arg(z)` - **三角函数**： .. math:: \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} .. math:: \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} .. math:: \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} - **双曲函数**： .. math:: \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} .. math:: \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} 2.2 复变函数的极限与连续 -------------------------- **极限的定义** 设函数f(z)在点 :math:`z_0` 的去心邻域内有定义。如果存在复数A，使得对于任意 :math:`\varepsilon > 0` ，存在 :math:`\delta > 0` ，当 :math:`0 < |z - z_0| < \delta` 时，有 :math:`|f(z) - A| < \varepsilon` ，则称A为f(z)当z趋向于 :math:`z_0` 时的极限，记作： .. math:: \lim_{z \to z_0} f(z) = A **连续的定义** 如果 :math:`\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)` ，则称 :math:`f(z)` 在点 :math:`z_0` 处连续。 **复变函数极限的性质** 复变函数极限存在的充分必要条件是其实部和虚部的极限都存在： .. math:: \lim_{z \to z_0} f(z) = A \Leftrightarrow \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = \text{Re}(A) \text{ 且 } \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = \text{Im}(A) 2.3 复变函数的导数 --------------------- **导数的定义** 复变函数 :math:`f(z)` 在点 :math:`z_0` 处的导数定义为： .. math:: f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} 如果该极限存在且与 :math:`\Delta z` 趋向于0的方式无关，则称 :math:`f(z)` 在点 :math:`z_0` 处可导。 **柯西-黎曼方程** 设 :math:`f(z) = u(x, y) + iv(x, y)` ，如果 :math:`f(z)` 在点 :math:`z = x + iy` 处可导，则： .. math:: \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} .. math:: \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} 这称为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）。 **导数的计算** 如果满足柯西-黎曼方程，则： .. math:: f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} .. container:: example-box **例题** 验证 :math:`f(z) = z^2` 是否满足柯西-黎曼方程。 :math:`f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)` 因此：:math:`u(x, y) = x^2 - y^2` ， :math:`v(x, y) = 2xy` 计算偏导数： :math:`\frac{\partial u}{\partial x} = 2x` ， :math:`\frac{\partial u}{\partial y} = -2y` :math:`\frac{\partial v}{\partial x} = 2y` ， :math:`\frac{\partial v}{\partial y} = 2x` 验证：:math:`\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}` ， :math:`\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}` 柯西-黎曼方程成立，因此 :math:`f(z) = z^2` 在复平面上处处可导。 导数：:math:`f'(z) = 2z` 3. 解析函数 =================================== 3.1 解析函数的定义 --------------------- **解析的概念** 如果复变函数f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内是解析的（或全纯的、正则的）。 如果 :math:`f(z)` 在点 :math:`z_0` 的某个邻域内解析，则称 :math:`f(z)` 在点 :math:`z_0` 处解析。 **解析与可导的关系** - 在某点可导：只要求在该点导数存在 - 在某点解析：要求在该点的某个邻域内处处可导 因此，解析比可导的条件更强。 **解析函数的例子** - 多项式函数：:math:`f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n` 在整个复平面上解析 - 指数函数：:math:`f(z) = e^z` 在整个复平面上解析 - 三角函数：:math:`\sin z, \cos z` 在整个复平面上解析 - 有理函数：:math:`f(z) = P(z)/Q(z)` 在 :math:`Q(z) \neq 0` 的区域解析 **非解析函数的例子** - f(z) = z̄（共轭函数）处处不可导 - :math:`f(z) = |z|^2` 仅在 :math:`z = 0` 处可导，处处不解析 3.2 调和函数 --------------------- **调和函数的定义** 如果二元函数φ(x, y)满足拉普拉斯方程： .. math:: \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0 则称φ(x, y)为调和函数。 **解析函数与调和函数的关系** 如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，则： - u(x, y)和v(x, y)都是调和函数 - u和v称为共轭调和函数 **证明** 对柯西-黎曼方程求导： :math:`\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)` :math:`\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}` 因此：:math:`\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0` 同理可证：:math:`\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0` **应用** 利用调和函数可以求解边值问题，如拉普拉斯方程的解。 3.3 初等解析函数 --------------------- **指数函数** f(z) = e^z = e^x(cos y + i sin y) 性质： - e^z在整个复平面解析 - (e^z)' = e^z - :math:`e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}` - e^(z + 2πi) = e^z（周期为2πi） **对数函数** f(z) = ln z = ln|z| + i arg(z) 性质： - ln z是多值函数（因为arg(z)是多值的） - 主值记作 :math:`\ln z = \ln|z| + i\arg(z)` ， :math:`\arg(z) \in (-\pi, \pi]` - (ln z)' = 1/z（在割去负实轴的复平面内） **幂函数** f(z) = z^α = e^(α ln z) 性质： - 当α为整数时，z^α是单值函数 - 当α为有理数时，z^α是有限多值函数 - 当α为无理数时，z^α是无限多值函数 **三角函数** - :math:`\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}` - :math:`\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}` - tan z = sin z/cos z 性质： - sin z和cos z在整个复平面解析 - sin(z + 2π) = sin z，cos(z + 2π) = cos z - sin(z + π) = -sin z，cos(z + π) = -cos z - :math:`\sin^2z + \cos^2z = 1` **反三角函数** - :math:`\arcsin z = -i \ln(iz + \sqrt{1 - z^2})` - :math:`\arccos z = -i \ln(z + \sqrt{z^2 - 1})` - :math:`\arctan z = \frac{i}{2} \ln\frac{i + z}{i - z}` 4. 复变函数的积分 =================================== 4.1 复积分的概念 --------------------- **复积分的定义** 设C是复平面上的一条有向曲线，f(z)在C上有定义。将C分割成n小段，取每段上的点ζ_k，作和式： .. math:: S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k 其中 :math:`\Delta z_k = z_k - z_{k-1}` 是第k段的弦。当分割无限细密时，如果 :math:`S_n` 趋向于确定的极限，则称该极限为 :math:`f(z)` 沿曲线C的积分，记作： .. math:: \int_C f(z)dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k **复积分的计算** 设 :math:`f(z) = u(x, y) + iv(x, y)` ，曲线C的参数方程为 :math:`z(t) = x(t) + iy(t)` ， :math:`a \leq t \leq b` ，则： .. math:: \int_C f(z)dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)dt .. math:: = \int_a^b [u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))][x'(t) + iy'(t)]dt .. math:: = \int_a^b [u x' - v y']dt + i\int_a^b [v x' + u y']dt .. container:: example-box **例题** 计算 :math:`\int_C z dz` ，其中C是从0到 :math:`1 + i` 的直线段。 参数方程：:math:`z(t) = t + it` ， :math:`0 \leq t \leq 1` :math:`z'(t) = 1 + i` :math:`\int_C z dz = \int_0^1 (t + it)(1 + i)dt = (1 + i)\int_0^1 (t + it)dt` :math:`= (1 + i)[t^2/2 + it^2/2]_0^1 = (1 + i)(1/2 + i/2) = (1 + i)(1 + i)/2 = (1 + 2i - 1)/2 = i` 4.2 柯西积分定理 --------------------- **柯西积分定理（柯西-古萨定理）** 如果f(z)在单连通区域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，则： .. math:: \oint_C f(z)dz = 0 **推论** 如果f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内的积分只与起点和终点有关，与路径无关。 **变形** 如果 :math:`f(z)` 在由 :math:`C_1` 和 :math:`C_2` 围成的环形区域内解析（ :math:`C_1` 在外， :math:`C_2` 在内），则： .. math:: \oint_{C_1} f(z)dz = \oint_{C_2} f(z)dz **物理意义** 柯西积分定理表明，解析函数沿闭曲线的积分为零，这意味着解析函数的积分路径无关性。 4.3 柯西积分公式 --------------------- **柯西积分公式** 设 :math:`f(z)` 在区域D内解析，C是D内包围点 :math:`z_0` 的正向简单闭曲线，则： .. math:: f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz **高阶导数的柯西积分公式** f(z)在区域D内解析，则f(z)的n阶导数存在且： .. math:: f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz 这表明解析函数的任意阶导数都存在且解析。 **应用** 柯西积分公式可以用来计算某些实积分和复积分。 .. container:: example-box **例题** 计算 :math:`\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz` ，其中C是 :math:`|z - 1| = 1` 的正向圆周。 根据柯西积分公式： :math:`f(1) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz` 因此：:math:`\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz = 2\pi i \cdot f(1) = 2\pi i \cdot e^1 = 2\pi ie` 5. 级数展开 =================================== 5.1 复数项级数 --------------------- **复数项级数的定义** 复数项级数是指形如 :math:`\sum z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n + \cdots` 的级数，其中 :math:`z_n` 是复数。 **收敛的定义** 如果部分和 :math:`S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n` 当 :math:`n \to \infty` 时趋向于确定的极限S，则称级数 :math:`\sum z_n` 收敛于S。 **收敛的判别法** 复数项级数 :math:`\sum z_n` 收敛的充分必要条件是其实部级数和虚部级数都收敛： **绝对收敛** 如果级数 :math:`\sum |z_n|` 收敛，则称级数 :math:`\sum z_n` 绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛。 5.2 幂级数 --------------------- **幂级数的定义** 形如 :math:`\sum a_n(z - z_0)^n = a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \cdots` 的级数称为幂级数。 **收敛半径** 幂级数的收敛范围是一个圆盘 :math:`|z - z_0| < R` ，其中R称为收敛半径。 收敛半径的计算： .. math:: R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| 或使用根值判别法： .. math:: R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} **收敛的性质** 幂级数在收敛圆内绝对收敛，可以逐项求导和逐项积分。 5.3 泰勒级数 --------------------- **泰勒级数的展开** 如果 :math:`f(z)` 在圆盘 :math:`|z - z_0| < R` 内解析，则 :math:`f(z)` 可以展开为泰勒级数： .. math:: f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n .. math:: = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + \frac{f''(z_0)}{2!}(z - z_0)^2 + \cdots **常见函数的泰勒展开** - :math:`e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}` ， :math:`R = \infty` - :math:`\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}` ， :math:`R = \infty` - :math:`\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}` ， :math:`R = \infty` - :math:`\frac{1}{1 - z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} z^n` ， :math:`R = 1` - :math:`\ln(1 + z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}` ， :math:`R = 1` **应用** 泰勒级数用于函数近似、数值计算、微分方程求解等。 5.4 洛朗级数 --------------------- **洛朗级数的定义** 如果f(z)在环形区域r < :math:`|z - z_0|` < R内解析，则f(z)可以展开为洛朗级数： .. math:: f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z - z_0)^n .. math:: = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \cdots 其中： .. math:: a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz **洛朗级数的两部分** - **正则部分**：:math:`n \geq 0` 的项，在圆内收敛 - **主要部分**：n < 0的项，在圆外收敛 **与泰勒级数的关系** 当洛朗级数没有负幂项时，洛朗级数退化为泰勒级数。 **应用** 洛朗级数用于研究函数在奇点附近的行为，是留数理论的基础。 6. 留数理论 =================================== 6.1 孤立奇点 --------------------- **奇点的定义** 函数f(z)不可导的点称为奇点。 **孤立奇点** 如果 :math:`z_0` 是 :math:`f(z)` 的奇点，且存在 :math:`z_0` 的某个邻域，在该邻域内除 :math:`z_0` 外 :math:`f(z)` 解析，则称 :math:`z_0` 为孤立奇点。 **孤立奇点的分类** 1. **可去奇点** 洛朗级数没有主要部分（没有负幂项），:math:`\lim_{z\to z_0} f(z)` 存在且有限。 例如：:math:`f(z) = \sin(z)/z` 在 :math:`z = 0` 处有可去奇点。 2. **极点** 洛朗级数的主要部分只有有限项。如果最高负幂项是 :math:`(z - z_0)^{-m}` ，则称 :math:`z_0` 为m阶极点。 特征： :math:`\lim_{z \to z_0} |f(z)| = \infty` 例如：f(z) = 1/(z - 1)在z = 1处有一阶极点。 3. **本性奇点** 洛朗级数的主要部分有无穷多项。函数在本性奇点附近的行为极其复杂。 特征：:math:`\lim_{z\to z_0} f(z)` 不存在（既不是有限值，也不是无穷大）。 例如：:math:`f(z) = e^{1/z}` 在 :math:`z = 0` 处有本性奇点。 6.2 留数的定义 --------------------- **留数的定义** 设 :math:`z_0` 是 :math:`f(z)` 的孤立奇点， :math:`f(z)` 在 :math:`z_0` 的洛朗展开为： .. math:: f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z - z_0)^n 则系数 :math:`a_{-1}` 称为 :math:`f(z)` 在 :math:`z_0` 处的留数，记作： .. math:: \text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1} **留数的计算** 1. **可去奇点**：留数为0 2. **m阶极点**： .. math:: \text{Res}[f(z), z_0] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z - z_0)^mf(z)] 特别地，对于一阶极点： .. math:: \text{Res}[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z) 3. **本性奇点**：直接展开洛朗级数求a_(-1) .. container:: example-box **例题** 求 :math:`f(z) = \frac{1}{z(z - 1)^2}` 在 :math:`z = 0` 和 :math:`z = 1` 处的留数。 在 :math:`z = 0` 处：一阶极点 :math:`\text{Res}[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} z \cdot \frac{1}{z(z - 1)^2} = \lim_{z\to 0} \frac{1}{(z - 1)^2} = 1` 在 :math:`z = 1` 处：二阶极点 :math:`\text{Res}[f(z), 1] = \frac{1}{1!} \lim_{z\to 1} \frac{d}{dz}\left[(z - 1)^2 \cdot \frac{1}{z(z - 1)^2}\right] = \lim_{z\to 1} \frac{d}{dz}\left[\frac{1}{z}\right] = \lim_{z\to 1}\left(-\frac{1}{z^2}\right) = -1` 6.3 留数定理 --------------------- **留数定理** 设 :math:`f(z)` 在区域D内除有限个孤立奇点 :math:`z_1, z_2, \ldots, z_n` 外处处解析，C是D内包围这些奇点的正向简单闭曲线，则： .. math:: \oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}[f(z), z_k] **应用** 留数定理是计算复积分的强大工具，也可以用来计算某些实积分。 .. container:: example-box **例题** 计算 :math:`\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz` ，其中C是 :math:`|z| = 2` 的正向圆周。 :math:`f(z) = \frac{e^z}{z - 1}` 在 :math:`|z| < 2` 内只有一个奇点 :math:`z = 1` （一阶极点）。 :math:`\text{Res}[f(z), 1] = \lim_{z\to 1} (z - 1) \cdot \frac{e^z}{z - 1} = \lim_{z\to 1} e^z = e` 根据留数定理：:math:`\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz = 2\pi i \cdot e = 2\pi ie` 这与之前用柯西积分公式得到的结果一致。 6.4 应用：实积分的计算 --------------------------- **第一类实积分** 计算形如 :math:`\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d\theta` 的积分。 令 :math:`z = e^{i\theta}` ，则： :math:`\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2}` ，:math:`\sin \theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}` ，:math:`d\theta = \frac{dz}{iz}` 积分转化为沿单位圆的复积分。 .. container:: example-box **例题** 计算 :math:`I = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos \theta}` 令 :math:`z = e^{i\theta}` ： :math:`\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z^2 + 1}{2z}` :math:`d\theta = \frac{dz}{iz}` :math:`I = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{iz} / \left[2 + \frac{z^2 + 1}{2z}\right] = \oint_{|z|=1} \frac{2z}{iz(4z + z^2 + 1)} dz` :math:`= \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 4z + 1}` 被积函数的奇点：:math:`z^2 + 4z + 1 = 0` :math:`z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}` 在单位圆内只有 :math:`z = -2 + \sqrt{3}` （因为 :math:`|-2 + \sqrt{3}| \approx 0.268 < 1` ） 留数：:math:`\text{Res}\left[\frac{1}{z^2 + 4z + 1}, -2 + \sqrt{3}\right] = \frac{1}{2(-2 + \sqrt{3}) + 4} = \frac{1}{2\sqrt{3}}` 因此：:math:`I = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}` **第二类实积分** 计算形如 :math:`\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx` 的积分。 构造适当的围道，应用留数定理和约当引理。 **约当引理** 如果f(z)在上半平面满足 :math:`|f(z)| \to 0`（当:math:`|z| \to \infty`），则： .. math:: \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)e^{iaz}dz = 0 \quad (a > 0) 其中C_R是上半平面的半圆弧。 7. 傅里叶级数与傅里叶变换 =================================== 7.1 傅里叶级数 --------------------- **周期函数的傅里叶级数展开** 设f(t)是以2π为周期的函数，满足狄利克雷条件，则f(t)可以展开为傅里叶级数： .. math:: f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(nt) + b_n\sin(nt)] 其中： .. math:: a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)dt .. math:: a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)dt .. math:: b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)dt **复数形式的傅里叶级数** .. math:: f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{int} 其中： .. math:: c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}dt **频谱** cₙ表示频率为n的谐波分量的幅度和相位。 .. container:: example-box **例题** 将方波函数展开为傅里叶级数。 f(t) = 1（-π < t < 0），f(t) = -1（0 < t < π），f(t + 2π) = f(t) 由于 :math:`f(t)` 是奇函数， :math:`a_n = 0` :math:`b_n = \frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^0 1 \cdot \sin(nt)dt + \int_0^{\pi} (-1) \cdot \sin(nt)dt\right]` :math:`= \frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}` :math:`= \frac{2}{n\pi}[1 - \cos(n\pi)]` 因此：:math:`f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}[1 - (-1)^n] \sin(nt)` :math:`= \frac{4}{\pi}\left[\sin t + \frac{1}{3}\sin 3t + \frac{1}{5}\sin 5t + \cdots\right]` 7.2 傅里叶变换 --------------------- **傅里叶变换的定义** 对于非周期函数f(t)，其傅里叶变换定义为： .. math:: F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt **傅里叶逆变换** .. math:: f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}d\omega **傅里叶变换的性质** 1. **线性性**：L{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω) 2. **时移特性**： :math:`L\{f(t - t_0)\} = e^{-i\omega t_0}F(\omega)` 3. **频移特性**： :math:`L\{e^{i\omega_0 t}f(t)\} = F(\omega - \omega_0)` 4. **尺度变换**： :math:`L\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}F(\omega/a)` 5. **微分性质**：L{f'(t)} = iωF(ω) 6. **积分性质**：:math:`L\left\{\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{i\omega}F(\omega)` 7. **卷积定理**：:math:`L\{f * g\} = F(\omega)G(\omega)` **常见函数的傅里叶变换** - **矩形脉冲**：f(t) = 1（\|t\| < T/2），f(t) = 0（其他） F(ω) = 2 sin(ωT/2)/ω - **高斯函数**：:math:`f(t) = e^{-\alpha t^2}` :math:`F(\omega) = \sqrt{\pi/\alpha} e^{-\omega^2/(4\alpha)}` - **指数函数**：f(t) = e^(-αt)u(t)（α > 0，u(t)为单位阶跃函数） F(ω) = 1/(α + iω) 7.3 离散傅里叶变换（DFT） -------------------------- **DFT的定义** 对于有限序列x[n]（n = 0, 1, ..., N-1），其离散傅里叶变换为： .. math:: X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1 **逆DFT** .. math:: x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{i2\pi kn/N} **快速傅里叶变换（FFT）** FFT是计算DFT的高效算法，时间复杂度为 :math:`O(N \log N)` ，而直接计算DFT的时间复杂度为 :math:`O(N^2)` 。 FFT是数字信号处理、图像处理等领域的基础算法。 8. 拉普拉斯变换 =================================== 8.1 拉普拉斯变换的定义 -------------------------- **拉普拉斯变换** 对于函数 :math:`f(t)` （ :math:`t \geq 0` ），其拉普拉斯变换定义为： .. math:: L\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt 其中s = σ + iω是复数。 **存在条件** 如果 :math:`f(t)` 分段连续，且存在常数M和 :math:`\alpha` 使得 :math:`|f(t)| \leq Me^{\alpha t}` ，则拉普拉斯变换在 :math:`\Re(s) > \alpha` 时存在。 **常用函数的拉普拉斯变换** - :math:`1 \to 1/s` - :math:`t \to 1/s^2` - :math:`t^n \to n!/s^{n+1}` - :math:`e^{at} \to 1/(s - a)` - :math:`\sin(\omega t) \to \omega/(s^2 + \omega^2)` - :math:`\cos(\omega t) \to s/(s^2 + \omega^2)` - :math:`\sinh(\omega t) \to \omega/(s^2 - \omega^2)` - :math:`\cosh(\omega t) \to s/(s^2 - \omega^2)` **拉普拉斯变换的性质** 1. **线性性**： :math:`L\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)` 2. **时移特性**： :math:`L\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as}F(s)` 3. **频移特性**： :math:`L\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)` 4. **尺度变换**： :math:`L\{f(at)\} = (1/a)F(s/a)` 5. **微分性质**：:math:`L\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)` :math:`L\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)` 6. **积分性质**：:math:`L\left\{\int_0^t f(\tau)d\tau\right\} = F(s)/s` 7. **卷积定理**：:math:`L\{f * g\} = F(s)G(s)` 8.2 拉普拉斯逆变换 --------------------- **部分分式分解** 将F(s)分解为简单的分式，然后逐项进行逆变换。 **逆变换公式** .. math:: f(t) = L^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st}F(s)ds 这个积分是沿平行于虚轴的直线进行的，γ是大于所有奇点实部的实数。 **留数法** 利用留数定理计算拉普拉斯逆变换： .. math:: f(t) = \sum \text{Res}[e^{st}F(s), \text{奇点}] .. container:: example-box **例题** 求 :math:`L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}\right\}` 部分分式分解： :math:`\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 2}` 解得：:math:`A = \frac{1}{2}` ， :math:`B = -1` ， :math:`C = \frac{1}{2}` 因此：:math:`L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}\right\} = \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}` 8.3 拉普拉斯变换的应用 --------------------------- **求解微分方程** 将微分方程转化为代数方程，求解后再进行逆变换。 .. container:: example-box **例题** 求解y'' + 3y' + 2y = e^(-t)，y(0) = 0，y'(0) = 1 拉普拉斯变换： :math:`s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = \frac{1}{s + 1}` :math:`(s^2 + 3s + 2)Y(s) - 1 = \frac{1}{s + 1}` :math:`Y(s) = \frac{1 + \frac{1}{s + 1}}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 2}{(s + 1)^2(s + 2)} = \frac{1}{(s + 1)^2}` 逆变换：:math:`y(t) = te^{-t}` **电路分析** 利用拉普拉斯变换分析电路的瞬态响应。 **控制系统** 传递函数就是系统的拉普拉斯变换。 9. Z变换 =================================== 9.1 Z变换的定义 --------------------- **Z变换** 对于离散序列x[n]，其Z变换定义为： .. math:: X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} **单边Z变换** .. math:: X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n} **收敛域（ROC）** 使级数收敛的z的集合称为收敛域。 **常见序列的Z变换** - :math:`\delta[n] \to 1` - :math:`u[n] \to \frac{1}{1 - z^{-1}}` ，收敛域: :math:`|z| > 1` - :math:`a^n u[n] \to \frac{1}{1 - az^{-1}}` ，收敛域: :math:`|z| > |a|` - :math:`na^n u[n] \to \frac{az^{-1}}{(1 - az^{-1})^2}` ，收敛域: :math:`|z| > |a|` 9.2 Z变换的性质 --------------------- 1. **线性性**：:math:`Z\{ax[n] + by[n]\} = aX(z) + bY(z)` 2. **时移特性**：:math:`Z\{x[n - k]\} = z^{-k}X(z)` 3. **Z域尺度变换**：:math:`Z\{a^n x[n]\} = X(z/a)` 4. **卷积定理**：:math:`Z\{x[n] * y[n]\} = X(z)Y(z)` 5. **初值定理**：:math:`x[0] = \lim_{z\to\infty} X(z)` 6. **终值定理**：:math:`\lim_{n\to\infty} x[n] = \lim_{z\to 1} (z - 1)X(z)` 9.3 Z变换的应用 --------------------- **差分方程求解** 将差分方程转化为代数方程。 **数字滤波器设计** Z变换是数字滤波器设计的基础。 **离散控制系统** 离散系统的传递函数就是Z变换。 10. 应用领域 =================================== 10.1 信号处理 --------------------- **信号分析** 傅里叶变换用于分析信号的频谱成分。 **滤波器设计** 拉普拉斯变换和Z变换用于设计模拟和数字滤波器。 **调制与解调** 傅里叶变换用于理解调制和解调过程。 10.2 控制理论 --------------------- **系统分析** 传递函数描述系统的输入输出关系。 **稳定性分析** 通过极点的位置判断系统稳定性。 **控制器设计** 根轨迹法、频域分析法等都基于复变函数理论。 10.3 电磁场理论 --------------------- **波动方程** 电磁波的传播可以用波动方程描述。 **复数表示法** 电磁场常用复数表示，简化计算。 **传输线理论** 传输线上的电压和电流可以用复数表示。 10.4 量子力学 --------------------- **薛定谔方程** 量子系统的基本方程。 **波函数的复数性质** 波函数是复数函数，其模的平方表示概率密度。 **算符理论** 量子力学的算符理论基于线性代数和复变函数。 11. 总结与展望 =================================== 复变函数与积分变换是现代数学和工程科学的重要基础，为信号处理、控制理论、电磁场理论、量子力学等领域提供了强有力的数学工具。 **核心价值** - 提供了处理复杂系统的数学语言 - 建立了时域与频域之间的转换关系 - 发展了求解微分方程的有效方法 - 形成了完整的复分析理论 **学习建议** - 熟练掌握复数运算和复平面表示 - 深刻理解柯西-黎曼方程和解析函数 - 熟练使用留数定理计算复积分 - 掌握各种积分变换及其应用 - 重视物理意义的理解 **进阶方向** - 复动力系统 - 共形映射 - 希尔伯特空间理论 - 小波变换 - 分数阶傅里叶变换 复变函数与积分变换不仅是数学理论，更是连接理论与工程实践的桥梁，掌握它将为你的学习和研究提供强大的支持。