常微分方程¶
0. 要点汇总¶
本篇文章的要点整理如下
微分方程：含有未知函数及其导数的方程
常微分方程：自变量只有一个的微分方程
偏微分方程：自变量有两个或以上的微分方程
阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数
线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程
齐次方程：不显含自变量或不含非零项的微分方程
通解：包含任意常数的解，常数的个数等于方程的阶数
特解：满足特定初始条件的解
初值问题：求满足初始条件的特解的问题
可分离变量方程：可以将x和y分别放到等式两边的方程
一阶线性方程：形如 \(y' + P(x)y = Q(x)\) 的方程
积分因子：用于求解一阶线性方程的函数 \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\)
恰当方程：存在二元函数 \(u(x,y)\) 使得 \(M dx + N dy = du\) 的方程
二阶常系数线性方程：形为 \(y'' + ay' + by = f(x)\) 的方程
特征方程：用于求解二阶齐次线性方程的辅助方程
齐次解：对应齐次方程的通解
特解：非齐次方程的特解
待定系数法：根据f(x)的形式猜测特解的方法
变参数法：将齐次解中的常数视为变量来求特解的方法
幂级数解法：用幂级数的形式求解微分方程
拉普拉斯变换：将微分方程转化为代数方程的积分变换
稳定性：解在长期行为上的性质，包括渐近稳定、不稳定等
平衡点：导数为零的点，也称为奇点或临界点
相图：在相平面上描绘解的几何行为的图形
李雅普诺夫稳定性：通过李雅普诺夫函数判断稳定性的方法
1. 微分方程的基本概念¶
1.1 微分方程的定义¶
微分方程的引入
微分方程是数学建模的核心工具，用于描述物理、工程、生物、经济等领域中的变化规律。凡是涉及变化率的问题，都可以用微分方程来描述。
基本定义
含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数（自变量只有一个），则称为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）；如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）。
阶数
微分方程中出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶数。
例如：
线性与非线性
如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，且系数不含未知函数，则称为线性微分方程；否则称为非线性微分方程。
齐次与非齐次
如果微分方程中不显含自变量，或者等于零的项不含未知函数，则称为齐次方程；否则称为非齐次方程。
1.2 解的基本概念¶
解的定义
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
通解
包含n个独立的任意常数的解称为n阶微分方程的通解。
特解
确定任意常数后的解称为特解。
初值问题
求解微分方程并满足初始条件的问题称为初值问题（Cauchy问题）。
例如：求 \(y' = y\) 满足 \(y(0) = 1\) 的解。
边值问题
求解微分方程并满足边界条件的问题称为边值问题。
例如：求 \(y'' + y = 0\) 满足 \(y(0) = 0\) ，\(y(\pi) = 1\) 的解。
2. 一阶微分方程¶
2.1 可分离变量方程¶
标准形式
形如 \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\) 或 \(M(x)dx + N(y)dy = 0\) 的方程称为可分离变量方程。
求解方法
将方程分离变量：\(\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx\)
两边积分：\(\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C\)
解出y得到通解
例题
求解dy/dx = x/y
分离变量：y dy = x dx
积分：∫y dy = ∫x dx
得到：y²/2 = x²/2 + C
化简：y² - x² = 2C = C’（新常数）
物理应用
放射性衰变：\(\frac{dN}{dt} = -\lambda N\)
分离变量：\(\frac{dN}{N} = -\lambda dt\)
积分：\(\ln|N| = -\lambda t + C\)
得到：\(N = Ce^{-\lambda t}\)
2.2 一阶线性微分方程¶
标准形式
形如 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) 的方程称为一阶线性微分方程。
积分因子法
积分因子 \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\)
乘以积分因子后：
\(\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q(x)\)
积分得：\(\mu y = \int \mu Q(x)dx + C\)
因此：\(y = \frac{1}{\mu}\left(\int \mu Q(x)dx + C\right)\)
例题
求解dy/dx + y/x = x
这里P(x) = 1/x，Q(x) = x
积分因子：μ(x) = e^(∫1/x dx) = e^(ln|x|) = |x|
取x > 0，则μ(x) = x
乘以积分因子：x dy/dx + y = x²
左边是d/dx(xy)：d/dx(xy) = x²
积分：xy = ∫x² dx = x³/3 + C
因此：y = x²/3 + C/x
应用实例
RL电路：\(L\frac{dI}{dt} + RI = E(t)\)
化为标准形式：\(\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I = \frac{E(t)}{L}\)
积分因子：\(\mu(t) = e^{\int \frac{R}{L} dt} = e^{Rt/L}\)
求解得到电流I(t)的表达式。
2.3 恰当方程¶
恰当方程的定义
形如 \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\) 的方程，如果存在函数 \(u(x,y)\) 使得 \(\frac{\partial u}{\partial x} = M\) 且 \(\frac{\partial u}{\partial y} = N\)，则称该方程为恰当方程。
恰当方程的条件
\(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)
求解方法
验证 \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)
由 \(\frac{\partial u}{\partial x} = M\) 积分得 \(u(x,y) = \int M dx + \phi(y)\)
对y求导：\(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\int M dx\right) + \phi'(y) = N\)
解出φ’(y)并积分得到φ(y)
通解为u(x,y) = C
积分因子
如果方程不是恰当的，可以尝试乘以积分因子μ使其成为恰当方程。
仅依赖于x的积分因子：\(\mu(x) = \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dx\right)\)
仅依赖于y的积分因子：\(\mu(y) = \exp\left(\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} dy\right)\)
例题
求解(2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy = 0
验证：∂M/∂y = 2x + 2y，∂N/∂x = 2x + 2y
∂M/∂y = ∂N/∂x，所以是恰当方程。
由∂u/∂x = 2xy + y²积分得：
u(x,y) = x²y + xy² + φ(y)
对y求导：∂u/∂y = x² + 2xy + φ’(y)
由∂u/∂y = x² + 2xy得：φ’(y) = 0，因此φ(y) = C₁
通解：x²y + xy² = C
2.4 齐次方程¶
齐次方程的定义
形如 \(\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\) 的方程称为齐次方程。
求解方法
令 \(u = \frac{y}{x}\) ，则 \(y = xu\) ，\(\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}\)
代入原方程：u + x(du/dx) = f(u)
分离变量：du/(f(u) - u) = dx/x
积分求解，最后将u = y/x代回。
例题
求解dy/dx = (y/x) + tan(y/x)
令u = y/x，则dy/dx = u + x(du/dx)
代入得：u + x(du/dx) = u + tan(u)
化简：x(du/dx) = tan(u)
分离变量：du/tan(u) = dx/x
积分：∫cos(u)/sin(u) du = ∫dx/x
ln|sin(u)| = ln|x| + C
sin(u) = Cx
代回u = y/x：sin(y/x) = Cx
3. 高阶线性微分方程¶
3.1 二阶常系数齐次线性方程¶
标准形式
\(y'' + ay' + by = 0\) ，其中a, b为常数。
特征方程法
假设解的形式为 \(y = e^{rx}\) ，代入得：
\(r^2 e^{rx} + ar e^{rx} + b e^{rx} = 0\)
\(r^2 + ar + b = 0\) （特征方程）
三种情况
两个不同的实根 \(r_1, r_2\)
通解：\(y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
重根 \(r\)
通解：\(y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}\)
共轭复根 \(\alpha \pm i\beta\)
通解：\(y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\)
例题
求解y’’ - 3y’ + 2y = 0
特征方程：r² - 3r + 2 = 0
因式分解：(r - 1)(r - 2) = 0
根：r₁ = 1，r₂ = 2
通解：y = C₁e^x + C₂e^(2x)
例题（重根）
求解y’’ - 4y’ + 4y = 0
特征方程：r² - 4r + 4 = 0
(r - 2)² = 0
重根：r = 2（二重）
通解：y = (C₁ + C₂x)e^(2x)
例题（复根）
求解y’’ + 2y’ + 5y = 0
特征方程：r² + 2r + 5 = 0
r = (-2 ± √(4 - 20))/2 = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i
通解：y = e^(-x)(C₁cos(2x) + C₂sin(2x))
3.2 二阶常系数非齐次线性方程¶
标准形式
\(y'' + ay' + by = f(x)\)
解的结构
通解 = 齐次解 + 特解
\(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\)
其中 \(y_h(x)\) 是对应齐次方程的通解， \(y_p(x)\) 是非齐次方程的特解。
待定系数法
根据f(x)的形式猜测特解的形式：
\(f(x) = P_n(x)\) （多项式）
特解形式：\(y_p = Q_n(x)\)
\(f(x) = e^{\lambda x}P_n(x)\)
特解形式：\(y_p = e^{\lambda x}Q_n(x)\)
\(f(x) = e^{\lambda x}[P_m(x)\cos(\omega x) + Q_n(x)\sin(\omega x)]\)
特解形式：\(y_p = e^{\lambda x}[R_k(x)\cos(\omega x) + S_k(x)\sin(\omega x)]\) ， \(k = \max(m, n)\)
注意：如果猜测的形式与齐次解重复，需要乘以x。
例题
求解y’’ - 3y’ + 2y = e^(3x)
齐次解：y_h = C₁e^x + C₂e^(2x)
f(x) = e^(3x)，猜测y_p = Ae^(3x)
代入：9Ae^(3x) - 9Ae^(3x) + 2Ae^(3x) = e^(3x)
2Ae^(3x) = e^(3x)
A = 1/2
特解：y_p = (1/2)e^(3x)
通解：y = C₁e^x + C₂e^(2x) + (1/2)e^(3x)
变参数法
如果齐次解为 \(y_h = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)\)
设特解为 \(y_p = C_1(x)y_1(x) + C_2(x)y_2(x)\)
其中 \(C_1'(x)y_1(x) + C_2'(x)y_2(x) = 0\)
\(C_1'(x)y_1'(x) + C_2'(x)y_2'(x) = f(x)\)
求解这个方程组得到 \(C_1'(x)\) 和 \(C_2'(x)\) ，再积分得到 \(C_1(x)\) 和 \(C_2(x)\) 。
3.3 高阶方程¶
n阶常系数齐次线性方程
\(y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y' + a_n y = 0\)
特征方程：\(r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n = 0\)
根据特征根的情况写出通解。
欧拉方程
形如 \(x^n y^{(n)} + a_1 x^{(n-1)} y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x)\) 的方程。
令 \(x = e^t\) （或 \(t = \ln|x|\) ），将欧拉方程转化为常系数线性方程。
4. 微分方程组¶
4.1 一阶线性方程组¶
矩阵形式
\(\frac{dy}{dt} = Ay + f(t)\)
其中 \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T\) ，A是n \(\times\) n矩阵， \(f(t) = (f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t))^T\)
齐次方程组的解
假设 \(y = e^{\lambda t}v\) ，代入得：
\(\lambda e^{\lambda t}v = A e^{\lambda t}v\)
\(Av = \lambda v\)
这是矩阵A的特征值问题。
实特征根
如果A有n个线性无关的特征向量 \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) ，对应的特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) ，则通解为：
\(y(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}v_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}v_2 + \cdots + C_n e^{\lambda_n t}v_n\)
复特征根
如果特征根为共轭复数 \(\alpha \pm i\beta\) ，对应的解为：
\(y(t) = e^{\alpha t}[C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)]\)
4.2 物理应用¶
耦合弹簧
两个质量 \(m_1\) 和 \(m_2\) 分别连接在弹簧上，通过另一个弹簧相互连接。
运动方程：
\(m_1 x_1'' = -k_1 x_1 + k_2(x_2 - x_1)\) \(m_2 x_2'' = -k_2(x_2 - x_1) - k_3 x_2\)
写成矩阵形式：\(M x'' = -Kx\)
生态系统模型
Lotka-Volterra方程（捕食者-猎物模型）：
\(\frac{dx}{dt} = ax - bxy`（猎物） :math:\)frac{dy}{dt} = -cy + dxy`（捕食者）
其中x是猎物数量，y是捕食者数量。
5. 稳定性理论¶
5.1 平衡点及其分类¶
平衡点的定义
对于自治系统 \(\frac{dy}{dt} = f(y)\) ，满足 \(f(y_0) = 0\) 的点 \(y_0\) 称为平衡点。
线性系统的平衡点
考虑 \(\frac{dy}{dt} = Ay\) ，平衡点在 \(y = 0\) 处。
根据特征值 \(\lambda_1, \lambda_2\) 的情况分类：
节点（Node）：两个实特征值同号 - 稳定节点：\(\lambda_1 < 0\) ，\(\lambda_2 < 0\) - 不稳定节点：\(\lambda_1 > 0\) ，\(\lambda_2 > 0\)
鞍点（Saddle）：两个实特征值异号
焦点（Focus）：共轭复根 \(\alpha \pm i\beta\) - 稳定焦点：\(\alpha < 0\) - 不稳定焦点：\(\alpha > 0\)
中心（Center）：纯虚根 \(\pm i\beta\)
相图
在相平面上描绘解的几何行为，展示平衡点附近的轨迹。
5.2 李雅普诺夫稳定性¶
稳定性定义
稳定：对于任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) ，使得当 \(||y(0)|| < \delta\) 时，对所有 \(t \geq 0\) 有 \(||y(t)|| < \varepsilon\)
渐近稳定：稳定且 \(\lim_{t\to\infty} y(t) = y_0\)
不稳定：不稳定的平衡点
李雅普诺夫函数
如果存在连续可微函数V(y)满足：
\(V(y_0) = 0\) ，且当 \(y \neq y_0\) 时 \(V(y) > 0\)
在平衡点附近，\(\frac{dV}{dt} \leq 0\)
则平衡点是稳定的。如果 \(\frac{dV}{dt} < 0\) （ \(y \neq y_0\) ），则平衡点是渐近稳定的。
应用实例
考虑系统：
\(\frac{dx}{dt} = -x^3\) \(\frac{dy}{dt} = -x^2 y\)
构造李雅普诺夫函数：\(V(x,y) = x^2 + y^2\)
\(\frac{dV}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2x(-x^3) + 2y(-x^2 y) = -2x^4 - 2x^2 y^2 \leq 0\)
因此，平衡点(0,0)是稳定的。
5.3 线性化方法¶
雅可比矩阵
对于非线性系统 \(\frac{dy}{dt} = f(y)\) ，在平衡点 \(y_0\) 处线性化：
J = Df(y_0)（雅可比矩阵）
线性化定理
如果线性化系统的所有特征值都有负实部，则非线性系统的平衡点是渐近稳定的。如果至少有一个特征值有正实部，则平衡点是不稳定的。
例题
考虑系统：
dx/dt = -x + xy dy/dt = -y + x²
平衡点：解 -x + xy = 0和 -y + x² = 0
得平衡点(0,0)和(1,1)
在(0,0)处：
f₁(x,y) = -x + xy，∂f₁/∂x = -1 + y，∂f₁/∂y = x f₂(x,y) = -y + x²，∂f₂/∂x = 2x，∂f₂/∂y = -1
雅可比矩阵：J = [[-1, 0], [0, -1]]
特征值：λ₁ = -1，λ₂ = -1
都是负实部，因此(0,0)是渐近稳定的。
6. 拉普拉斯变换方法¶
6.1 拉普拉斯变换的定义¶
拉普拉斯变换
对于函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：
其中s是复数。
常用变换
导数的变换
6.2 求解微分方程¶
求解步骤
对微分方程两边进行拉普拉斯变换
利用初始条件和变换性质，得到关于F(s)的代数方程
解出F(s)
进行拉普拉斯逆变换得到f(t)
例题
求解y’’ + 3y’ + 2y = 0，y(0) = 1，y’(0) = 0
拉普拉斯变换：
s²Y(s) - sy(0) - y’(0) + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0
(s² + 3s + 2)Y(s) - s - 3 = 0
Y(s) = (s + 3)/(s² + 3s + 2) = (s + 3)/[(s + 1)(s + 2)]
部分分式分解：
(s + 3)/[(s + 1)(s + 2)] = A/(s + 1) + B/(s + 2)
s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) = (A + B)s + (2A + B)
比较系数：A + B = 1，2A + B = 3
解得：A = 2，B = -1
Y(s) = 2/(s + 1) - 1/(s + 2)
拉普拉斯逆变换：
y(t) = 2e^(-t) - e^(-2t)
6.3 卷积定理¶
卷积的定义
两个函数f(t)和g(t)的卷积定义为：
卷积定理
\(\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)G(s)\)
因此：\(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = f * g\)
应用
用于求解有激励项的微分方程。
例如：求解 \(y'' + y = f(t)\) ， \(y(0) = y'(0) = 0\)
拉普拉斯变换：\((s^2 + 1)Y(s) = F(s)\)
\(Y(s) = \frac{F(s)}{s^2 + 1} = F(s) \cdot \mathcal{L}\{\sin(t)\}\)
由卷积定理：\(y(t) = f * \sin(t) = \int_0^{t} f(\tau)\sin(t - \tau)d\tau\)
7. 幂级数解法¶
7.1 幂级数解的基本理论¶
适用情况
当微分方程的系数不是常数，或者不能用初等方法求解时，可以使用幂级数解法。
幂级数的形式
假设解的形式为：
求解步骤
将y, y’, y’’等用幂级数表示
代入微分方程
比较同次幂的系数，得到递推关系
求出系数 \(a_n\)
例题
求解y’’ - xy = 0（Airy方程）
设y = Σaₙxⁿ
y’ = Σ(n+1)a_(n+1)xⁿ
y’’ = Σ(n+2)(n+1)a_(n+2)xⁿ
代入得：Σ(n+2)(n+1)a_(n+2)xⁿ - xΣaₙxⁿ = 0
Σ(n+2)(n+1)a_(n+2)xⁿ - Σaₙx^(n+1) = 0
调整指标：Σ(n+2)(n+1)a_(n+2)xⁿ - Σa_(n-1)xⁿ = 0（n ≥ 1）
比较系数：(n+2)(n+1)a_(n+2) - a_(n-1) = 0
递推关系：a_(n+2) = a_(n-1)/[(n+2)(n+1)]
由a₀和a₁确定所有系数。
8. 常微分方程的应用¶
8.1 物理学中的应用¶
力学
自由落体：\(m\frac{d^2 x}{dt^2} = mg\)
阻尼振动：\(m\frac{d^2 x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0\)
受迫振动：\(m\frac{d^2 x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t)\)
电磁学
RC电路：\(RC\frac{dV}{dt} + V = E\)
RLC电路：\(L\frac{d^2 I}{dt^2} + R\frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = \frac{dE}{dt}\)
热传导
一维热传导方程：\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
8.2 工程学中的应用¶
控制系统
控制系统的传递函数就是微分方程的拉普拉斯变换。
化学反应动力学
反应速率方程：d[A]/dt = -k[A]
生物学
种群增长：\(\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)\)
传染病模型：SIR模型
8.3 经济学中的应用¶
经济增长模型
Solow模型：\(\frac{dk}{dt} = s f(k) - (n + g + \delta)k\)
期权定价
Black-Scholes方程：\(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0\)
9. 数值解法¶
9.1 欧拉方法¶
基本思想
用差商近似导数：
\(\frac{dy}{dx} \approx \frac{y(x + h) - y(x)}{h}\)
因此：\(y(x + h) \approx y(x) + h f(x, y(x))\)
迭代公式
\(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)
误差
局部截断误差为 \(O(h^2)\) ，全局截断误差为 \(O(h)\) 。
9.2 龙格-库塔方法¶
二阶龙格-库塔方法
\(k_1 = h f(x_n, y_n)\)
\(k_2 = h f(x_n + h, y_n + k_1)\)
\(y_{n+1} = y_n + \frac{k_1 + k_2}{2}\)
四阶龙格-库塔方法
\(k_1 = h f(x_n, y_n)\)
\(k_2 = h f(x_n + h/2, y_n + k_1/2)\)
\(k_3 = h f(x_n + h/2, y_n + k_2/2)\)
\(k_4 = h f(x_n + h, y_n + k_3)\)
\(y_{n+1} = y_n + \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}\)
四阶龙格-库塔方法的局部截断误差为 \(O(h^5)\) ，全局截断误差为 \(O(h^4)\) 。
9.3 多步方法¶
Adams-Bashforth方法
利用前几步的信息来计算下一步的值。
二阶Adams-Bashforth：
\(y_{n+1} = y_n + \frac{3}{2}h f(x_n, y_n) - \frac{1}{2}h f(x_{n-1}, y_{n-1})\)
Adams-Moulton方法
隐式方法，精度更高。
二阶Adams-Moulton：
\(y_{n+1} = y_n + \frac{1}{2}h f(x_{n+1}, y_{n+1}) + \frac{1}{2}h f(x_n, y_n)\)
需要用迭代方法求解。
10. 总结与展望¶
常微分方程是连接数学理论与工程实践的桥梁，为物理、工程、生物、经济等领域提供了强有力的建模和分析工具。
核心价值
提供了描述变化规律的数学语言
建立了从实际问题到数学模型的转化方法
发展了多种解析和数值求解技术
形成了完整的稳定性理论
学习建议
熟练掌握基本解法：分离变量、积分因子、特征方程法
理解解的结构：齐次解 + 特解
重视物理意义的理解
掌握数值方法的应用
进阶方向
偏微分方程
动力系统理论
分岔与混沌
随机微分方程
延迟微分方程
常微分方程不仅是数学的一个分支，更是科学和工程领域的基础工具，掌握它将为你的学习和研究提供强大的支持。