复变函数与积分变换¶
0. 要点汇总¶
本篇文章的要点整理如下
复数：形如 \(z = x + iy\) 的数，其中 \(x\) 为实部，\(y\) 为虚部，\(i^2 = -1\)
复平面：用二维平面表示复数，横轴为实轴，纵轴为虚轴
复数的模： \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)，表示复数到原点的距离
辐角： \(\arg(z)\) 表示复数与正实轴的夹角，主值范围为 \((-\pi, \pi]\)
欧拉公式： \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
共轭复数： \(\bar{z} = x - iy\)，与原复数关于实轴对称
复变函数：自变量和因变量都是复数的函数
柯西-黎曼方程：复变函数可微的必要条件，\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)
解析函数：在区域内处处可微的复变函数
柯西积分定理：解析函数沿闭曲线的积分为零
柯西积分公式： \(f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz\)
泰勒级数：解析函数可以展开为幂级数
洛朗级数：在环形区域内展开的级数，包含正幂和负幂项
奇点：函数不可导的点，包括可去奇点、极点、本性奇点
留数：洛朗级数中 \((z - z_0)^{-1}\) 项的系数
留数定理： \(\oint_C f(z)dz = 2\pi i \times \text{(所有奇点留数之和)}\)
傅里叶级数：将周期函数展开为正弦和余弦的级数
傅里叶变换：将时域函数转换到频域
拉普拉斯变换：一种广义的傅里叶变换，用于求解微分方程
卷积定理：两个函数卷积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积
采样定理：带限信号可以由采样值完全恢复
1. 复数与复平面¶
1.1 复数的基本概念¶
复数的定义
复数是实数的扩展，形式为 \(z = x + iy\) ，其中 \(x\) 称为实部（记作 \(\text{Re}(z)\) ）， \(y\) 称为虚部（记作 \(\text{Im}(z)\) ）， \(i\) 称为虚数单位，满足 \(i^2 = -1\) 。
当y = 0时，复数退化为实数；当x = 0时，称为纯虚数。
复数的四则运算
加法：(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
减法：(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
乘法：\((a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)\)
除法：\((a + ib)/(c + id) = \frac{(a + ib)(c - id)}{(c + id)(c - id)} = \frac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}\)
共轭复数
复数 \(z = x + iy\) 的共轭复数记作 \(\bar{z} = x - iy\) 。
重要性质：
1.2 复平面与极坐标表示¶
复平面
复数可以用二维平面上的点表示，横轴为实轴（Re轴），纵轴为虚轴（Im轴）。复数 \(z = x + iy\) 对应点 \((x, y)\) 。
复数的模
复数z = x + iy的模定义为：
表示复数z到原点的距离。
辐角
复数 \(z = x + iy\) 的辐角 \(\arg(z)\) 表示复数与正实轴的夹角。
辐角的多值性：如果 \(\theta\) 是 \(z\) 的辐角，则 \(\theta + 2k\pi\) （ \(k\) 为整数）都是 \(z\) 的辐角。
主辐角
辐角的主值记作Arg(z)，范围限制在(-π, π]内。
极坐标表示
复数可以用极坐标表示：
欧拉公式
欧拉公式是复变函数理论的基础：
由此可得：
棣莫弗公式
对于任意整数n：
或写成指数形式： \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\)
1.3 复数的幂与根¶
复数的幂
使用指数形式计算复数的幂最为方便：
复数的根
复数 \(z = re^{i\theta}\) 的n次根有n个不同的值：
这n个根均匀分布在以原点为中心、半径为r^(1/n)的圆上。
例题
求1 + i的三次方根。
首先转换为极坐标形式： \(1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}\)
三次方根为：
\(z_k = (\sqrt{2})^{1/3} e^{i(\pi/4 + 2k\pi)/3} = 2^{1/6} e^{i(\pi/12 + 2k\pi/3)}, k = 0, 1, 2\)
即：
\(z_0 = 2^{1/6}e^{i\pi/12}\)
\(z_1 = 2^{1/6}e^{i3\pi/4}\)
\(z_2 = 2^{1/6}e^{i17\pi/12}\)
2. 复变函数¶
2.1 复变函数的基本概念¶
复变函数的定义
复变函数f(z)是将复数z映射到复数w的映射：w = f(z)
如果 \(z = x + iy\) ， \(w = u + iv\) ，则复变函数可以表示为：
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
其中u(x, y)称为实部函数，v(x, y)称为虚部函数。
常见的复变函数
幂函数： \(f(z) = z^n\) （n为正整数）
指数函数： \(f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\)
对数函数： \(f(z) = \ln z = \ln|z| + i\arg(z)\)
三角函数：
\[\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\]\[\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\]\[\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}\]双曲函数：
\[\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\]\[\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\]
2.2 复变函数的极限与连续¶
极限的定义
设函数f(z)在点 \(z_0\) 的去心邻域内有定义。如果存在复数A，使得对于任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) ，当 \(0 < |z - z_0| < \delta\) 时，有 \(|f(z) - A| < \varepsilon\) ，则称A为f(z)当z趋向于 \(z_0\) 时的极限，记作：
连续的定义
如果 \(\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)\) ，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续。
复变函数极限的性质
复变函数极限存在的充分必要条件是其实部和虚部的极限都存在：
2.3 复变函数的导数¶
导数的定义
复变函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处的导数定义为：
如果该极限存在且与 \(\Delta z\) 趋向于0的方式无关，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处可导。
柯西-黎曼方程
设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) ，如果 \(f(z)\) 在点 \(z = x + iy\) 处可导，则：
这称为柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）。
导数的计算
如果满足柯西-黎曼方程，则：
例题
验证 \(f(z) = z^2\) 是否满足柯西-黎曼方程。
\(f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)\)
因此：\(u(x, y) = x^2 - y^2\) ， \(v(x, y) = 2xy\)
计算偏导数：
\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\) ， \(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y\)
\(\frac{\partial v}{\partial x} = 2y\) ， \(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x\)
验证：\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}\) ， \(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}\)
柯西-黎曼方程成立，因此 \(f(z) = z^2\) 在复平面上处处可导。
导数：\(f'(z) = 2z\)
3. 解析函数¶
3.1 解析函数的定义¶
解析的概念
如果复变函数f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内是解析的（或全纯的、正则的）。
如果 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的某个邻域内解析，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处解析。
解析与可导的关系
在某点可导：只要求在该点导数存在
在某点解析：要求在该点的某个邻域内处处可导
因此，解析比可导的条件更强。
解析函数的例子
多项式函数：\(f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n\) 在整个复平面上解析
指数函数：\(f(z) = e^z\) 在整个复平面上解析
三角函数：\(\sin z, \cos z\) 在整个复平面上解析
有理函数：\(f(z) = P(z)/Q(z)\) 在 \(Q(z) \neq 0\) 的区域解析
非解析函数的例子
f(z) = z̄（共轭函数）处处不可导
\(f(z) = |z|^2\) 仅在 \(z = 0\) 处可导，处处不解析
3.2 调和函数¶
调和函数的定义
如果二元函数φ(x, y)满足拉普拉斯方程：
则称φ(x, y)为调和函数。
解析函数与调和函数的关系
如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，则：
u(x, y)和v(x, y)都是调和函数
u和v称为共轭调和函数
证明
对柯西-黎曼方程求导：
\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)\)
\(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\)
因此：\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)
同理可证：\(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\)
应用
利用调和函数可以求解边值问题，如拉普拉斯方程的解。
3.3 初等解析函数¶
指数函数
f(z) = e^z = e^x(cos y + i sin y)
性质：
e^z在整个复平面解析
(e^z)’ = e^z
\(e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}\)
e^(z + 2πi) = e^z（周期为2πi）
对数函数
f(z) = ln z = ln|z| + i arg(z)
性质：
ln z是多值函数（因为arg(z)是多值的）
主值记作 \(\ln z = \ln|z| + i\arg(z)\) ， \(\arg(z) \in (-\pi, \pi]\)
(ln z)’ = 1/z（在割去负实轴的复平面内）
幂函数
f(z) = z^α = e^(α ln z)
性质：
当α为整数时，z^α是单值函数
当α为有理数时，z^α是有限多值函数
当α为无理数时，z^α是无限多值函数
三角函数
\(\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\)
\(\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\)
tan z = sin z/cos z
性质：
sin z和cos z在整个复平面解析
sin(z + 2π) = sin z，cos(z + 2π) = cos z
sin(z + π) = -sin z，cos(z + π) = -cos z
\(\sin^2z + \cos^2z = 1\)
反三角函数
\(\arcsin z = -i \ln(iz + \sqrt{1 - z^2})\)
\(\arccos z = -i \ln(z + \sqrt{z^2 - 1})\)
\(\arctan z = \frac{i}{2} \ln\frac{i + z}{i - z}\)
4. 复变函数的积分¶
4.1 复积分的概念¶
复积分的定义
设C是复平面上的一条有向曲线，f(z)在C上有定义。将C分割成n小段，取每段上的点ζ_k，作和式：
其中 \(\Delta z_k = z_k - z_{k-1}\) 是第k段的弦。当分割无限细密时，如果 \(S_n\) 趋向于确定的极限，则称该极限为 \(f(z)\) 沿曲线C的积分，记作：
复积分的计算
设 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) ，曲线C的参数方程为 \(z(t) = x(t) + iy(t)\) ， \(a \leq t \leq b\) ，则：
例题
计算 \(\int_C z dz\) ，其中C是从0到 \(1 + i\) 的直线段。
参数方程：\(z(t) = t + it\) ， \(0 \leq t \leq 1\)
\(z'(t) = 1 + i\)
\(\int_C z dz = \int_0^1 (t + it)(1 + i)dt = (1 + i)\int_0^1 (t + it)dt\)
\(= (1 + i)[t^2/2 + it^2/2]_0^1 = (1 + i)(1/2 + i/2) = (1 + i)(1 + i)/2 = (1 + 2i - 1)/2 = i\)
4.2 柯西积分定理¶
柯西积分定理（柯西-古萨定理）
如果f(z)在单连通区域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，则：
推论
如果f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内的积分只与起点和终点有关，与路径无关。
变形
如果 \(f(z)\) 在由 \(C_1\) 和 \(C_2\) 围成的环形区域内解析（ \(C_1\) 在外， \(C_2\) 在内），则：
物理意义
柯西积分定理表明，解析函数沿闭曲线的积分为零，这意味着解析函数的积分路径无关性。
4.3 柯西积分公式¶
柯西积分公式
设 \(f(z)\) 在区域D内解析，C是D内包围点 \(z_0\) 的正向简单闭曲线，则：
高阶导数的柯西积分公式
f(z)在区域D内解析，则f(z)的n阶导数存在且：
这表明解析函数的任意阶导数都存在且解析。
应用
柯西积分公式可以用来计算某些实积分和复积分。
例题
计算 \(\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz\) ，其中C是 \(|z - 1| = 1\) 的正向圆周。
根据柯西积分公式：
\(f(1) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz\)
因此：\(\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz = 2\pi i \cdot f(1) = 2\pi i \cdot e^1 = 2\pi ie\)
5. 级数展开¶
5.1 复数项级数¶
复数项级数的定义
复数项级数是指形如 \(\sum z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n + \cdots\) 的级数，其中 \(z_n\) 是复数。
收敛的定义
如果部分和 \(S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n\) 当 \(n \to \infty\) 时趋向于确定的极限S，则称级数 \(\sum z_n\) 收敛于S。
收敛的判别法
复数项级数 \(\sum z_n\) 收敛的充分必要条件是其实部级数和虚部级数都收敛：
绝对收敛
如果级数 \(\sum |z_n|\) 收敛，则称级数 \(\sum z_n\) 绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛。
5.2 幂级数¶
幂级数的定义
形如 \(\sum a_n(z - z_0)^n = a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + \cdots\) 的级数称为幂级数。
收敛半径
幂级数的收敛范围是一个圆盘 \(|z - z_0| < R\) ，其中R称为收敛半径。
收敛半径的计算：
或使用根值判别法：
收敛的性质
幂级数在收敛圆内绝对收敛，可以逐项求导和逐项积分。
5.3 泰勒级数¶
泰勒级数的展开
如果 \(f(z)\) 在圆盘 \(|z - z_0| < R\) 内解析，则 \(f(z)\) 可以展开为泰勒级数：
常见函数的泰勒展开
\(e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\) ， \(R = \infty\)
\(\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\) ， \(R = \infty\)
\(\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) ， \(R = \infty\)
\(\frac{1}{1 - z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} z^n\) ， \(R = 1\)
\(\ln(1 + z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\) ， \(R = 1\)
应用
泰勒级数用于函数近似、数值计算、微分方程求解等。
5.4 洛朗级数¶
洛朗级数的定义
如果f(z)在环形区域r < \(|z - z_0|\) < R内解析，则f(z)可以展开为洛朗级数：
其中：
洛朗级数的两部分
正则部分：\(n \geq 0\) 的项，在圆内收敛
主要部分：n < 0的项，在圆外收敛
与泰勒级数的关系
当洛朗级数没有负幂项时，洛朗级数退化为泰勒级数。
应用
洛朗级数用于研究函数在奇点附近的行为，是留数理论的基础。
6. 留数理论¶
6.1 孤立奇点¶
奇点的定义
函数f(z)不可导的点称为奇点。
孤立奇点
如果 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的奇点，且存在 \(z_0\) 的某个邻域，在该邻域内除 \(z_0\) 外 \(f(z)\) 解析，则称 \(z_0\) 为孤立奇点。
孤立奇点的分类
可去奇点
洛朗级数没有主要部分（没有负幂项），\(\lim_{z\to z_0} f(z)\) 存在且有限。
例如：\(f(z) = \sin(z)/z\) 在 \(z = 0\) 处有可去奇点。
极点
洛朗级数的主要部分只有有限项。如果最高负幂项是 \((z - z_0)^{-m}\) ，则称 \(z_0\) 为m阶极点。
特征： \(\lim_{z \to z_0} |f(z)| = \infty\)
例如：f(z) = 1/(z - 1)在z = 1处有一阶极点。
本性奇点
洛朗级数的主要部分有无穷多项。函数在本性奇点附近的行为极其复杂。
特征：\(\lim_{z\to z_0} f(z)\) 不存在（既不是有限值，也不是无穷大）。
例如：\(f(z) = e^{1/z}\) 在 \(z = 0\) 处有本性奇点。
6.2 留数的定义¶
留数的定义
设 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的孤立奇点， \(f(z)\) 在 \(z_0\) 的洛朗展开为：
则系数 \(a_{-1}\) 称为 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的留数，记作：
留数的计算
可去奇点：留数为0
m阶极点：
特别地，对于一阶极点：
本性奇点：直接展开洛朗级数求a_(-1)
例题
求 \(f(z) = \frac{1}{z(z - 1)^2}\) 在 \(z = 0\) 和 \(z = 1\) 处的留数。
在 \(z = 0\) 处：一阶极点
\(\text{Res}[f(z), 0] = \lim_{z\to 0} z \cdot \frac{1}{z(z - 1)^2} = \lim_{z\to 0} \frac{1}{(z - 1)^2} = 1\)
在 \(z = 1\) 处：二阶极点
\(\text{Res}[f(z), 1] = \frac{1}{1!} \lim_{z\to 1} \frac{d}{dz}\left[(z - 1)^2 \cdot \frac{1}{z(z - 1)^2}\right] = \lim_{z\to 1} \frac{d}{dz}\left[\frac{1}{z}\right] = \lim_{z\to 1}\left(-\frac{1}{z^2}\right) = -1\)
6.3 留数定理¶
留数定理
设 \(f(z)\) 在区域D内除有限个孤立奇点 \(z_1, z_2, \ldots, z_n\) 外处处解析，C是D内包围这些奇点的正向简单闭曲线，则：
应用
留数定理是计算复积分的强大工具，也可以用来计算某些实积分。
例题
计算 \(\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz\) ，其中C是 \(|z| = 2\) 的正向圆周。
\(f(z) = \frac{e^z}{z - 1}\) 在 \(|z| < 2\) 内只有一个奇点 \(z = 1\) （一阶极点）。
\(\text{Res}[f(z), 1] = \lim_{z\to 1} (z - 1) \cdot \frac{e^z}{z - 1} = \lim_{z\to 1} e^z = e\)
根据留数定理：\(\oint_C \frac{e^z}{z - 1}dz = 2\pi i \cdot e = 2\pi ie\)
这与之前用柯西积分公式得到的结果一致。
6.4 应用：实积分的计算¶
第一类实积分
计算形如 \(\int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d\theta\) 的积分。
令 \(z = e^{i\theta}\) ，则：
\(\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2}\) ，\(\sin \theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}\) ，\(d\theta = \frac{dz}{iz}\)
积分转化为沿单位圆的复积分。
例题
计算 \(I = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos \theta}\)
令 \(z = e^{i\theta}\) ：
\(\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z^2 + 1}{2z}\)
\(d\theta = \frac{dz}{iz}\)
\(I = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{iz} / \left[2 + \frac{z^2 + 1}{2z}\right] = \oint_{|z|=1} \frac{2z}{iz(4z + z^2 + 1)} dz\)
\(= \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 4z + 1}\)
被积函数的奇点：\(z^2 + 4z + 1 = 0\)
\(z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\)
在单位圆内只有 \(z = -2 + \sqrt{3}\) （因为 \(|-2 + \sqrt{3}| \approx 0.268 < 1\) ）
留数：\(\text{Res}\left[\frac{1}{z^2 + 4z + 1}, -2 + \sqrt{3}\right] = \frac{1}{2(-2 + \sqrt{3}) + 4} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\)
因此：\(I = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\)
第二类实积分
计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\) 的积分。
构造适当的围道，应用留数定理和约当引理。
约当引理
如果f(z)在上半平面满足 \(|f(z)| \to 0`（当:math:`|z| \to \infty\)），则：
其中C_R是上半平面的半圆弧。
7. 傅里叶级数与傅里叶变换¶
7.1 傅里叶级数¶
周期函数的傅里叶级数展开
设f(t)是以2π为周期的函数，满足狄利克雷条件，则f(t)可以展开为傅里叶级数：
其中：
复数形式的傅里叶级数
其中：
频谱
cₙ表示频率为n的谐波分量的幅度和相位。
例题
将方波函数展开为傅里叶级数。
f(t) = 1（-π < t < 0），f(t) = -1（0 < t < π），f(t + 2π) = f(t)
由于 \(f(t)\) 是奇函数， \(a_n = 0\)
\(b_n = \frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^0 1 \cdot \sin(nt)dt + \int_0^{\pi} (-1) \cdot \sin(nt)dt\right]\)
\(= \frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_{-\pi}^0 + \frac{1}{\pi}\left[\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}\)
\(= \frac{2}{n\pi}[1 - \cos(n\pi)]\)
因此：\(f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}[1 - (-1)^n] \sin(nt)\)
\(= \frac{4}{\pi}\left[\sin t + \frac{1}{3}\sin 3t + \frac{1}{5}\sin 5t + \cdots\right]\)
7.2 傅里叶变换¶
傅里叶变换的定义
对于非周期函数f(t)，其傅里叶变换定义为：
傅里叶逆变换
傅里叶变换的性质
线性性：L{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)
时移特性： \(L\{f(t - t_0)\} = e^{-i\omega t_0}F(\omega)\)
频移特性： \(L\{e^{i\omega_0 t}f(t)\} = F(\omega - \omega_0)\)
尺度变换： \(L\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}F(\omega/a)\)
微分性质：L{f’(t)} = iωF(ω)
积分性质：\(L\left\{\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{i\omega}F(\omega)\)
卷积定理：\(L\{f * g\} = F(\omega)G(\omega)\)
常见函数的傅里叶变换
矩形脉冲：f(t) = 1（|t| < T/2），f(t) = 0（其他） F(ω) = 2 sin(ωT/2)/ω
高斯函数：\(f(t) = e^{-\alpha t^2}\) \(F(\omega) = \sqrt{\pi/\alpha} e^{-\omega^2/(4\alpha)}\)
指数函数：f(t) = e^(-αt)u(t)（α > 0，u(t)为单位阶跃函数） F(ω) = 1/(α + iω)
7.3 离散傅里叶变换（DFT）¶
DFT的定义
对于有限序列x[n]（n = 0, 1, …, N-1），其离散傅里叶变换为：
逆DFT
快速傅里叶变换（FFT）
FFT是计算DFT的高效算法，时间复杂度为 \(O(N \log N)\) ，而直接计算DFT的时间复杂度为 \(O(N^2)\) 。
FFT是数字信号处理、图像处理等领域的基础算法。
8. 拉普拉斯变换¶
8.1 拉普拉斯变换的定义¶
拉普拉斯变换
对于函数 \(f(t)\) （ \(t \geq 0\) ），其拉普拉斯变换定义为：
其中s = σ + iω是复数。
存在条件
如果 \(f(t)\) 分段连续，且存在常数M和 \(\alpha\) 使得 \(|f(t)| \leq Me^{\alpha t}\) ，则拉普拉斯变换在 \(\Re(s) > \alpha\) 时存在。
常用函数的拉普拉斯变换
\(1 \to 1/s\)
\(t \to 1/s^2\)
\(t^n \to n!/s^{n+1}\)
\(e^{at} \to 1/(s - a)\)
\(\sin(\omega t) \to \omega/(s^2 + \omega^2)\)
\(\cos(\omega t) \to s/(s^2 + \omega^2)\)
\(\sinh(\omega t) \to \omega/(s^2 - \omega^2)\)
\(\cosh(\omega t) \to s/(s^2 - \omega^2)\)
拉普拉斯变换的性质
线性性： \(L\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)\)
时移特性： \(L\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as}F(s)\)
频移特性： \(L\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)\)
尺度变换： \(L\{f(at)\} = (1/a)F(s/a)\)
微分性质：\(L\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)\) \(L\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\)
积分性质：\(L\left\{\int_0^t f(\tau)d\tau\right\} = F(s)/s\)
卷积定理：\(L\{f * g\} = F(s)G(s)\)
8.2 拉普拉斯逆变换¶
部分分式分解
将F(s)分解为简单的分式，然后逐项进行逆变换。
逆变换公式
这个积分是沿平行于虚轴的直线进行的，γ是大于所有奇点实部的实数。
留数法
利用留数定理计算拉普拉斯逆变换：
例题
求 \(L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}\right\}\)
部分分式分解：
\(\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 2}\)
解得：\(A = \frac{1}{2}\) ， \(B = -1\) ， \(C = \frac{1}{2}\)
因此：\(L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}\right\} = \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}\)
8.3 拉普拉斯变换的应用¶
求解微分方程
将微分方程转化为代数方程，求解后再进行逆变换。
例题
求解y’’ + 3y’ + 2y = e^(-t)，y(0) = 0，y’(0) = 1
拉普拉斯变换：
\(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = \frac{1}{s + 1}\)
\((s^2 + 3s + 2)Y(s) - 1 = \frac{1}{s + 1}\)
\(Y(s) = \frac{1 + \frac{1}{s + 1}}{s^2 + 3s + 2} = \frac{s + 2}{(s + 1)^2(s + 2)} = \frac{1}{(s + 1)^2}\)
逆变换：\(y(t) = te^{-t}\)
电路分析
利用拉普拉斯变换分析电路的瞬态响应。
控制系统
传递函数就是系统的拉普拉斯变换。
9. Z变换¶
9.1 Z变换的定义¶
Z变换
对于离散序列x[n]，其Z变换定义为：
单边Z变换
收敛域（ROC）
使级数收敛的z的集合称为收敛域。
常见序列的Z变换
\(\delta[n] \to 1\)
\(u[n] \to \frac{1}{1 - z^{-1}}\) ，收敛域: \(|z| > 1\)
\(a^n u[n] \to \frac{1}{1 - az^{-1}}\) ，收敛域: \(|z| > |a|\)
\(na^n u[n] \to \frac{az^{-1}}{(1 - az^{-1})^2}\) ，收敛域: \(|z| > |a|\)
9.2 Z变换的性质¶
线性性：\(Z\{ax[n] + by[n]\} = aX(z) + bY(z)\)
时移特性：\(Z\{x[n - k]\} = z^{-k}X(z)\)
Z域尺度变换：\(Z\{a^n x[n]\} = X(z/a)\)
卷积定理：\(Z\{x[n] * y[n]\} = X(z)Y(z)\)
初值定理：\(x[0] = \lim_{z\to\infty} X(z)\)
终值定理：\(\lim_{n\to\infty} x[n] = \lim_{z\to 1} (z - 1)X(z)\)
9.3 Z变换的应用¶
差分方程求解
将差分方程转化为代数方程。
数字滤波器设计
Z变换是数字滤波器设计的基础。
离散控制系统
离散系统的传递函数就是Z变换。
10. 应用领域¶
10.1 信号处理¶
信号分析
傅里叶变换用于分析信号的频谱成分。
滤波器设计
拉普拉斯变换和Z变换用于设计模拟和数字滤波器。
调制与解调
傅里叶变换用于理解调制和解调过程。
10.2 控制理论¶
系统分析
传递函数描述系统的输入输出关系。
稳定性分析
通过极点的位置判断系统稳定性。
控制器设计
根轨迹法、频域分析法等都基于复变函数理论。
10.3 电磁场理论¶
波动方程
电磁波的传播可以用波动方程描述。
复数表示法
电磁场常用复数表示，简化计算。
传输线理论
传输线上的电压和电流可以用复数表示。
10.4 量子力学¶
薛定谔方程
量子系统的基本方程。
波函数的复数性质
波函数是复数函数，其模的平方表示概率密度。
算符理论
量子力学的算符理论基于线性代数和复变函数。
11. 总结与展望¶
复变函数与积分变换是现代数学和工程科学的重要基础，为信号处理、控制理论、电磁场理论、量子力学等领域提供了强有力的数学工具。
核心价值
提供了处理复杂系统的数学语言
建立了时域与频域之间的转换关系
发展了求解微分方程的有效方法
形成了完整的复分析理论
学习建议
熟练掌握复数运算和复平面表示
深刻理解柯西-黎曼方程和解析函数
熟练使用留数定理计算复积分
掌握各种积分变换及其应用
重视物理意义的理解
进阶方向
复动力系统
共形映射
希尔伯特空间理论
小波变换
分数阶傅里叶变换
复变函数与积分变换不仅是数学理论，更是连接理论与工程实践的桥梁，掌握它将为你的学习和研究提供强大的支持。